最近学校老师讲了一下等时圆。先从这个题讲起:

在同一个地方向不同倾角光滑斜面用不同的初速度上滑,到达最高点所用时间相等,求最高点的轨迹是什么?

A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 圆

当时做这个题目的第一想法是把x和y座标表示出来:

然后就傻眼了,并得不到x与y的关系式。当然了可以求出几个点,强行带入二次曲线通式求解。不过想了想还是用解析几何的方法去做吧:

这么一代入,显然是圆。但既然这是物理题,可不可以用物理方法做呢?

可以,这就是等时圆。

啥叫等时圆?

等时圆就是,在一个光滑圆环上选择任意一点,让一个小球从这个点沿着光滑直杆到圆的最低点,无论这个点在哪里(最低点不算哈),时间都是一样的。怎么证明?

很简单:设小球与最低点连线与数值方向上夹角为,那么

你会发现t与无关。证明完毕。

其实也可以倒过来:从圆的最高点往各个方向下滑,到达圆周时间相等。

好了,到此为止内容都没什么,但你会想问这和前面那道题目有什么关系呢?这怎么等时圆?重力往下诶。运动可是往右上方。

Here comes the black magic :)

我们考虑向下滑到最低点的那个等时圆,在这个圆周上滑倒最低点的时间都相等。好,我们把这个图沿着竖直方向旋转180度形成一个球,想想这个球上每一个点到最低点时间是不是也一样?那么考虑逆过程,让小球从斜面上滑下来,我对刚才的球体再竖着切一刀,得到的平面不就是题目中那个吗?得证。

当然了最好能有动画说明,限于本人时间问题暂时不提供 ^_^